Вопрос: Какой язык программирования вы предпочитаете
|
Иллюстрированный самоучитель по MatLab
Численное
интегрирование методом квадратур
Приведенные
ниже функции осуществляют интегрирование и двойное интегрирование, используя
квадратурную формулу Симпсона или метод Гаусса-Лобатто. Квадратура — численный
метод нахождения площади под графиком функции/(т), т. е. вычисление определенного
интеграла вида
В приведенных
ниже формулах подынтегральное выражение fun обычно задается в форме дескриптора
функции, поэтому с дидактическими целями используем нотацию @fun.
Функции quad
и quadl используют два различных алгоритма квадратуры для вычисления определенного
интеграла. Функция quad выполняет интегрирование по методу низкого порядка,
используя рекурсивное правило Симпсона [4, 40]. Но она может быть более эффективной
при негладких подынтегральных функциях или при низкой требуемой точности вычислений.
Алгоритм quad в MATLAB 6 изменен по сравнению с предшествовавшими версиями,
точность по умолчанию по
сравнению
с версиями 5.3х повышена в 1000 раз (с 10-
3
до 10-
6
).
Новая функция quadl (квадратура Лобатто) использует адаптивное правило квадратуры
Гаусса— Лобатто очень высокого порядка. Устаревшая функция quads выполняла интегрирование,
используя квадратурные формулы Ньютона—Котеса 8-го порядка [40]. Достижимая
точность интегрирования гладких функций в MATLAB 6 поэтому также значительно
выше, чем в предшествующих версиях.
-
quad(@fun,a.b)
— возвращает численное значение определенного интеграла от заданной функции
@fun на отрезке [а Ь]. Используется значительно усовершенствованный в MATLAB
6 адаптивный метод Симпсона;
-
quad(@fun,a.b.tol)
— возвращает численное значение определенного интеграла с заданной относительной
погрешностью tol. По умолчанию to1=l.e-6. Можно также использовать вектор,
состоящий из двух элементов tol =[rel_tol abs_tol], чтобы точно определить
комбинацию относительной и абсолютной погрешности;
-
quad(@fun,a.b,tol
.trace) — возвращает численное значение определенного интеграла и при значении
trace, не равном нулю, строит график, показывающий ход вычисления интеграла;
-
quad(@fun,a,b.tol,trace,PI,P2,...)
— возвращает численное значение определенного интеграла по хот подынтегральной
функции fun, использует дополнительные аргументы P1, P2,..., которые напрямую
передаются в подынтегральную функцию: G=fun(X.Pl,P2,...). Примеры:
»
quad('(exp(x)-l)',0,1,1e-5)
ans =
0.7183
» q = quad(@exp,0,2,1e-4)
q
=
6.3891
» q = quad(@sin.0,pi,le-3)
q
= 2.0000
-
dblquad(@fun,inmin,inmax.outmin,outmax)
— вычисляет и возвращает значение двойного интеграла для подынтегральной
функции fun (Inner, outer), по умолчанию используя квадратурную функцию
quad. Inner — внутренняя переменная, изменяющаяся на закрытом интервале
от inmin до inmax, a outer — внешняя переменная, изменяющаяся на закрытом
интервале от outmin до outmax. Первый аргумент @fun — строка, описывающая
подынтегральную функцию. Этс может быть либо дескриптор функции, либо объект
inline (в последнем случае символ «@» в ее записи отсутствует).
Обычная запись в апострофах тепер недопустима. Эта функция должна быть функцией
двух переменных вид. fout=fun(inner.outer). Функция должна брать вектор
inner и скаляр outer возвращать вектор fout, который является функцией,
вычисленной в outer и каждом значении inner [
Функция inime('expr', 'argl',...'argn')
так же создает объект, но без дескриптора, 'ехрг' — выражеши Строки 'argx'
—входные аргументы. При их отсутствии по умолчанию подставляется х. Если
вмест 'arg' — скаляр, то он означает количество дополнительных переменных
Р. Примеры запис; g = inline(exp); g - inline('t
A
2'); g = inline('sin(2*pi*f
+ theta)'); g = inline('sin(2*pi*f + theta)', : 'theta'); g - inline('x
A
Pl+P2',
2). - Примеч. ред.
];
-
dblquad(@fun,inmin.inmax.outmin,oiitmax,tol
.trace) — передает в функцию dblquad параметры tol и trace. Смотрите справку
по функции quad для получения информации о параметрах to! и trace;
-
dblquad(@fun,inmin,inmax,outmin,outmax.tol
.trace,order) — передает параметры tol и trace для функции quad или quadl
в зависимости от значения строки order. Допустимые значения для параметра
order — @quad , @quadl или имя любого определенного пользователем квадратурного
метода с таким же вызовом и такими же возвращаемыми параметрами, как у функций
quad и quad!. (Например, при проверке старых программ можно использовать
@quad8 для большей совместимости с прежними версиями MATLAB). По умолчанию
(без параметра order) вызывается @quad. поскольку подинтегральные функции
могут быть негладкими.
Пример: пусть
m-файл integl.m описывает функцию 2*y*sin(x)+x/2*cos(y), тогда вычислить двойной
интеграл от той функции можно следующим образом:
»
result = dblquad(@integl,pi,2*pi,0.2*pi)
result =
78.9574
|
|
|