Вопрос: Какой язык программирования вы предпочитаете
|
Иллюстрированный самоучитель по Mathematica
Ортогональные многочлены
Одними из
широко распространенных специальных функций являются ортогональные многочлены
(полиномы). Mathematica имеет следующие функции, возвращающие значения ортогональных
многочленов:
-
ChebyshevT [n, х]
— полином Чебышева
п-й степени первого рода;
-
CyebyshevU [n, x] —
полином Чебышева
п-йстепени второго рода;
-
HermiteH[n, х] — полином
Эрмита
п-йстепени;
-
JacobiP[n,
a, b,
х] — полином Якоби
п-й степени;
-
'GegenbauerC [n, m,
х] — полином Гегенбауэра;
-
LaguerreL[n, х] —
полином Лагерра n-й степени;
-
LaguerreL[n, а, х]
— обобщенный полином Лагерра
п-й степени;
-
LegendreP [n, х] —
полином Лежандра
n-й степени;
-
LegendreP [n, m, x]
— присоединенный полином Лежандра;
-
LegendreQ [n, z] —
функция Лежандра второго рода
n-го порядка;
-
LegendreQ [n, m, z]
— присоединенная функция Лежандра второго рода.
LegendreType
— опция для функций LegendreP и LegendreQ; она указывает выборы разрывов кривой
для функций Лежандра на комплексной плоскости.
Все ортогональные
полиномы имеют простые рекуррентные представления. Поэтому приведенные выше
функции вычисляются по ним довольно быстро и точно. Они находят широкое применение
в технике интерполяции и аппроксимации функций.
Следующие
примеры иллюстрируют работу с ортогональными многочленами.
Ввод
(In)
|
Вывод
(Out)
|
ChebyshevT
[ 8, х]
|
1 - 32
x
2
+ 160 x
4
- 256 x
6
+ 128 x
8
|
ChebyshevT
[5, 0.2]
|
0.84512
|
ChebyshevU
[3,0. 15]
|
-0.573
|
HermiteH[4,3]
|
876
|
JacobiP[3,l,2,0.2]
|
-0.256
|
GegenbauerC
[ 3 , 1 , x]
|
-4 x +
8 x
3
|
N [LaguerreL
[3,x]]
|
0.166667
(6. -18. x+ 9. x
2
- 1. X
3
)
|
LegendreP
[ 5 , x ]
|
15 x /6-35
x
3
/4+63 x
5
/8
|
LegendreQ[2,0.2]
|
-0.389202
|
Важно отметить,
что при указании конкретного значения параметра п и символьном значении параметра
х функции этой группы возвращают присущие им представления через степенные многочлены
с соответствующими коэффициентами.
На рис. 6.1
показаны графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT и
ChebyshevU. Для
этих полиномов характерно изменение от -1 до +1 при
\х\<1, причем
при высоком порядке полиномов графики функций имеют колебательный характер.
Рис.
6.1.
Графики ортогональных полиномов Чебышева ChebyshevT (сверху)
и ChebyshevU (снизу)
Графики функций
полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра LegendreP показаны на рис. 6.2. Они дают
представление о поведении этих функций.
Рис.
6.2.
Графики ортогональных полиномов Лагерра LaguerreL и Лежандра
LegendreP (снизу)
На рис. 6.3
представлены графики полиномов Лежандра
LegendreQ.
Рис.
6.3.
Графики функций Лежандра LegendreQ (сверху) и полиномов Гегенбауэра
GegenbauerC (снизу)
|
|
|