Преобразования Лапласа-LaplaceTransform
Преобразования
Лапласа — важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например,
символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции
преобразования размещены в подпакете
Laplace-Transform. Но в CKM Mathematica
4 эти функции стали встроенными.
Основными
являются следующие функции этого класса:
-
LaplaceTransform[expr,
t, s] — возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения
expr [t] в виде функции переменной s;
-
InverseLaplaceTransform[expr,
s,t] — возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения
expr [s] в виде функции переменной t;
-
LaplaceTransform [expr,
{tl, t2,...}, {s1i, s2,...} ] — возвращает результат прямого преобразования
Лапласа для выражения expr [ 11, t2,... ] в виде функции переменных {s1, s2,...};
-
InverseLaplaceTransform
[expr, {s1, s2,...}, {tl, t2,...} ] — возвращает результат обратного преобразования
Лапласа для выражения expr [s1, s2,...] в виде функции переменных
{tl, е2,...}.
Хотя имена
переменных t и s можно выбирать произвольно, обычно t означает время, as — оператор
Лапласа. Ниже представлено несколько примеров выполнения преобразования Лапласа:
<<Calculus'LaplaceTransfornT'
LaplaceTransform[Exp[-t]*Sin[t], t, s]
1+1/ (1 + s)2
InverseLaplaceTransform[%,s,t]
E-tSin[t]
LaplaceTransform[t^2 Exp[-x], {t,x}, {s,v}]
2/s3(1
+ v)
Функции z-преобразований — ZTransform
Z-преобразования широко используются в теории автоматического регулирования. Поэтому в системе
Mathematica 4 для осуществления z-преобразований в ядро включены следующие функции:
-
ZTransform[expr, n,
z] — возвращает результат прямого 2-преобразования для выражения ехрr, представленного
как функция целочисленного аргумента n;
-
InverseZTransform[expr,
n, z] — возвращает результат обратного z-npeобразования для выражения ехрr,
представленного как функция целочисленного аргумента п.
Приведем
примеры выполнения z-преобразований:
ZTransform[Cos[n], n, z]
(1-cos(1)/z)/(1+1/z2-2Cos(1)/z)
InverseZTransform[%,s,t]
Cos[n]
ZTransform[n^2
а^n, n, z]
[-a(1+a/z)/(-1+a/z)3 z
InverseZTransf
orm [%, z, n] // Together
ann2
Как и следовало
ожидать, прямое, а затем обратное z-преобразование выражения ехрг восстанавливает
его в исходном виде. В системе Mathematica 3 эти функции становятся доступными
после исполнения команды «DiscreteMath' ZTransform' поскольку они входят
не в ядро, а в пакет расширения дискретной математики.